Лабораторная работа №4

Докладчик

Дурдалыев Максат
Cтудент НКНбд-01-22
Российский университет дружбы народов имени Патриса Лумумбы
1132205337@pfur.ru
https://github.com/mdurdalyyev

Цели и задачи

Цель работы

Основной целью работы является изучение возможностей специализированных пакетов Julia для выполнения и оценки эффективности операций над объектами линейной алгебры.

Задание

Используя Jupyter Lab, повторите примеры.
Выполните задания для самостоятельной работы.

Поэлементные операции над многомерными массивами

Поэлементные операции сложения и произведения элементов матрицы

Поэлементные операции над многомерными массивами

Использование возможностей пакета Statistics для работы со средними значениями

Транспонирование, след, ранг, определитель и инверсия матрицы

Использование библиотеки LinearAlgebra для выполнения определённых операций

Транспонирование, след, ранг, определитель и инверсия матрицы

Вычисление нормы векторов и матриц, повороты, вращения

Вычисление нормы векторов и матриц, повороты, вращения

Вычисление нормы векторов и матриц, повороты, вращения

Матричное умножение, единичная матрица, скалярное произведение

Примеры матричного умножения, единичной матрицы и скалярного произведения

Матричное умножение, единичная матрица, скалярное произведение

Факторизация. Специальные матричные структуры

Решение систем линейный алгебраических уравнений Ax = b

Факторизация. Специальные матричные структуры

Julia позволяет вычислять LU-факторизацию и определяет составной тип факторизации для его хранения:

Пример вычисления LU-факторизации и определение составного типа факторизации для его хранения

Факторизация. Специальные матричные структуры

Исходная система уравнений Ax = b может быть решена или с использованием исходной матрицы, или с использованием объекта факторизации:

Пример решения с использованием исходной матрицы и с использованием объекта факторизации

Факторизация. Специальные матричные структуры

Julia позволяет вычислять QR-факторизацию и определяет составной тип факторизации для его хранения:

Пример вычисления QR-факторизации и определение составного типа факторизации для его хранения

Факторизация. Специальные матричные структуры

Примеры собственной декомпозиции матрицы

Факторизация. Специальные матричные структуры

Далее рассмотрим примеры работы с матрицами большой размерности и специальной структуры:

Факторизация. Специальные матричные структуры

Пример добавления шума в симметричную матрицу (матрица уже не будет симметричной):

Факторизация. Специальные матричные структуры

В Julia можно объявить структуру матрица явно, например, используя Diagonal, Triangular, Symmetric, Hermitian, Tridiagonal и SymTridiagonal:

Пример явного объявления структуры матрицы

Факторизация. Специальные матричные структуры

Далее для оценки эффективности выполнения операций над матрицами большой размерности и специальной структуры воспользуемся пакетом BenchmarkTools:

Факторизация. Специальные матричные структуры

Далее рассмотрим примеры работы с разряженными матрицами большой размерности. Использование типов Tridiagonal и SymTridiagonal для хранения трёхдиагональных матриц позволяет работать с потенциально очень большими трёхдиагональными матрицами:

Общая линейная алгебра

В примере показано, как можно решить систему линейных уравнений с рациональными элементами без преобразования в типы элементов с плавающей запятой (для избежания проблемы с переполнением используем BigInt):

Решение системы линейных уравнений с рациональными элементами без преобразования в типы элементов с плавающей запятой

Самостоятельная работа

Самостоятельная работа

Решение задания “Системы линейных уравнений”

Самостоятельная работа

Самостоятельная работа

Решение задания “Линейные модели экономики”

Самостоятельная работа

Выводы

В результате выполнения данной лабораторной работы я изучил возможности специализированных пакетов Julia для выполнения и оценки эффективности операций над объектами линейной алгебры.